Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće u ravni .
Njen položaj u svakom trenutku određen je koordinatama:
x = x(t)
y = y(t)
Ove dve jednačine nazivaju se parametarske jednačine kretanja, pri čemu je vreme parametar.
One pokazuju kako se koordinate materijalne tačke menjaju tokom vremena.
Položaj tačke može se predstaviti i vektorom položaja:
gde su:
i – jedinični vektor ose ;
j – jedinični vektor ose ;
r – vektor položaja materijalne tačke.
Vektor položaja polazi iz koordinatnog početka O, a završava se u trenutnom položaju tačke M. Kod prostornog kretanja, dodaje se i treca koordinata z(t) sa jediničnim vektorom k, ali mi ćemo posmatrati samo kretanje tačke u ravni.
Jednačine x = x(t), y = y(t) određuju položaj tačke u zavisnosti od vremena. Međutim, one ne pokazuju neposredno oblik putanje.
Da bi se dobila jednačina linije putanje, potrebno je iz parametarskih jednačina eliminisati vreme .
Posle eliminacije vremena dobija se veza između koordinata:
Dobijena jednačina je jednačina putanje (ona nije zavisna od vremena).
Postupak određivanja putanje
Iz jedne jednačine kretanja izraziti vreme (t).
Dobijeni izraz uvrstiti u drugu jednačinu.
Srediti dobijeni izraz.
Prepoznati oblik putanje.
Odrediti deo putanje koji odgovara zadatom vremenskom intervalu.
Ako parametarske jednačine nije lako svesti na poznatu jednačinu krive, putanja se može nacrtati pomoću tabele.
Postupak je sledeći:
izabrati nekoliko vrednosti vremena;
za svaku vrednost vremena izračunati i ;
u koordinatnom sistemu ucrtati dobijene tačke;
povezati ih glatkom linijom;
strelicom označiti smer kretanja.
Tabela može imati oblik:
Vreme t |
Koordinata x(t) |
Koordinata y(t) |
Položaj |
|---|---|---|---|
t0 |
x0 |
y0 |
M0(x0,y0) |
t1 |
x1 |
y1 |
M0(x1,y1) |
t2 |
x2 |
y2 |
M2(x2,y2) |
t3 |
x3 |
y3 |
M3(x3,y3) |
Povezivanjem tačaka M dobija se približan oblik putanje.
Što se izabere više vrednosti vremena, grafički prikaz putanje biće tačniji.
Vektor trenutne brzine u svakoj tački ima pravac tangente na putanju i smer kretanja materijalne tačke.
Prema tome, poznavanjem vektora brzine možemo odrediti:
koliko brzo se tačka kreće;
pravac njenog trenutnog kretanja;
smer njenog kretanja.
Vektor brzine je izvod vektora položaja i njegova tangentnost na putanju predstavlja osnovne osobine kretanja u ravni.
Ne ulazeći u oblast izvoda, naglasićemo samo da vektori brzine i ubrzanja imaju dve komponente – u pravcima koordinatnih osa.