Kružno kretanje je kretanje materijalne tačke po kružnoj putanji.
Kružnica po kojoj se tačka kreće određena je:
centrom O;
poluprečnikom R;
smerom kretanja.
Primeri kružnog kretanja:
tačka na obodu zamajca;
tačka na zupčaniku;
vrh kazaljke časovnika;
tačka na remenici;
vrh lopatice ventilatora;
tačka na točku vozila;
deo obrtne ruke robota;
tačka na radnom predmetu koji se obrće na strugu.
Kružno kretanje je poseban slučaj krivolinijskog kretanja.
Neka se materijalna tačka pomeri po kružnici iz položaja u položaj .
Za to vreme poluprečnik kružnice opiše ugao φ:
Ovaj ugao naziva se ugaoni pomeraj.
Ugaoni pomeraj izražava se u:
stepenima ;
radijanima .
Za jedan pun obrtaj važi:
Na primer:
Dok poluprečnik opiše ugao φ, materijalna tačka pređe luk dužine s.
Između pređenog puta, poluprečnika i ugaonog pomeraja postoji veza:
Ovaj izraz važi kada je ugao izražen u radijanima.
Iz iste jednačine dobijamo:
odakle dolazi definicija da je jedan radijan ugao pod kojim tacka na kružnici prdje put jednak poluprečniku.
Jedan pun obrtaj odgovara uglu 2π rad
Ako tačka izvrši N punih obrtaja, njen ukupni ugaoni pomeraj iznosi φ=2πN rad:
Iz ovoga sledi N=φ/2π
Ukupan pređeni put posle obrtaja je s = 2 R π N:
Tačka na obodu diska poluprečnika 0,2m izvrši pet obrtaja.
Ugaoni pomeraj je:
φ=2πN = 10π rad
Pređeni put:
s= 2 R π N=2*0,2*5*π=2*π=6,28m
Ravnomerno kružno kretanje je kretanje pri kojem materijalna tačka u jednakim vremenskim intervalima prelazi jednake kružne lukove.
Pri ovom kretanju:
ugaona brzina je stalna;
intenzitet obodne brzine je stalan;
pravac obodne brzine neprestano se menja.
Kod ravnomernog kružnog kretanja stalan je intenzitet brzine, ali vektor brzine nije stalan jer se njegov pravac menja.
Zbog toga ravnomerno kružno kretanje ipak ima ubrzanje. Njegovo detaljno određivanje može se obraditi u posebnoj lekciji o normalnom, tangencijalnom i ukupnom ubrzanju.
Ugaona brzina pokazuje koliki ugaoni pomeraj materijalna tačka ostvari u jedinici vremena.
Označava se grčkim slovom omega (ω)
Kod ravnomernog kružnog kretanja ω=φ/t
Merna jedinica je rad/s:
Iz osnovne jednačine dobijamo φ=ωt
Pošto je s=Rφ, dobija se:
s = R ω t
Brzina kojom se tačka kreće po obodu kružnice naziva se obimna ili tangencijalna brzina.
Označava se sa v.
Za ravnomerno kružno kretanje v=s/t:
Pošto je s=Rφ i ω=φ/t
dobija se v=Rω
Ovo je osnovna veza između obimne i ugaone brzine.
Ugaona brzina ista je za sve tačke krutog tela koje se obrće oko iste ose.
Obimna brzina zavisi od udaljenosti tačke od ose:
Zato tačke koje su udaljenije od ose imaju veću obimnu brzinu.
Period obrtanja je vreme potrebno da materijalna tačka izvrši jedan pun obrtaj.
Označava se sa T. Merna jedinica je sekunda (s).
Ako tačka za vreme t izvrši N obrtaja T=t / N
Pošto tačka za jedan period opiše ugao 2π, ugaona brzina iznosi ω = 2π/T:
Obimna brzina je:
Učestanost pokazuje koliko obrtaja materijalna tačka izvrši u jednoj sekundi.
Označava se sa f = N/t:
Merna jedinica je s-1 (Herz):
Veza između perioda i učestanosti je f=1/T:
odnosno T=1/f
Kod mašina se brzina obrtanja često zadaje brojem obrtaja u minuti (n) sa jedinicom o/min.
Da bismo broj obrtaja u minuti pretvorili u obrtaje u sekundi, delimo ga sa 60:
f = n/60
Ugaona brzina iznosi ω = 2πn/60:
Obimna brzina je v = Rω = 2Rnπ/60:
Zamajac poluprečnika R=30cm, obrće se sa n=120 o/min
Odrediti:
učestanost obrtanja;
period;
ugaonu brzinu;
obimnu brzinu tačke na obodu zamajca.
R = 30cm = 0,3m
f = 120/60 = 2Hz
Zamajac izvrši dva obrtaja u sekundi.
T = 1/f = 0,5s
Jedan obrtaj traje pola sekunde.
ω = 2π/T = 4π rad/s = 12,56 rad/s
v=2πR/T = 1,2π = 3,77 m/s
Promenljivo kružno kretanje je kretanje pri kojem ugaona brzina (ω) nije stalna.
Kod ovog kretanja materijalna tačka u jednakim vremenskim intervalima ne opisuje jednake uglove.
Kako je v=Rω, promenom ugaone brzine menja se i obimna brzina.
Promenljivo kružno kretanje može biti:
ubrzano – ugaona brzina se povećava;
usporeno – ugaona brzina se smanjuje;
opšte promenljivo – promena ugaone brzine nije ravnomerna.
Promenljivo kružno kreću se:
zamajac pri pokretanju i zaustavljanju mašine;
rotor elektromotora pri uključivanju;
točak vozila pri ubrzavanju i kočenju;
vreteno alatne mašine pri promeni broja obrtaja;
obrtni zglob robota pri promeni brzine.
Ugaono ubrzanje pokazuje koliko se ugaona brzina promeni u jedinici vremena.
Označava se grčkim slovom alfa (α).
Srednje ugaono ubrzanje određuje se izrazom α=Δω/t [rad/s2]
Ako se ugaona brzina povećava, ugaono ubrzanje deluje u smeru obrtanja.
Ako se ugaona brzina smanjuje, ugaono ubrzanje deluje suprotno smeru obrtanja.
Ravnomerno ubrzano kružno kretanje je kretanje pri kojem se ugaona brzina u jednakim vremenskim intervalima povećava za jednake iznose.
Ugaono ubrzanje je stalno α = const.
ω = ω0 + αt
gde je:
ω0– početna ugaona brzina;
ω– ugaona brzina posle vremena t;
α– ugaono ubrzanje.
Ako kretanje počinje iz mirovanja ω0=0:
pa je ω = αt:
Kod ravnomerno ubrzanog kružnog kretanja:
φ = ωsr t
Zamenom srednje ugaone brzine dobija se:
Ako kretanje počinje iz mirovanja φ = ½ αt2
Disk polazi iz mirovanja i obrće se stalnim ugaonim ubrzanjem:
α = 2 rad/s2
Odrediti ugaonu brzinu, ugaoni pomeraj i broj obrtaja posle t=4s:
Pošto disk polazi iz mirovanja:
ω0 = 0, ω = αt = 8 rad/s
φ = ½ αt2 = 16 rad
N = φ/2π = 2,55
Za četiri sekunde disk izvrši približno dva i po obrtaja.
Ravnomerno usporeno kružno kretanje je kretanje pri kojem se ugaona brzina u jednakim vremenskim intervalima smanjuje za jednake iznose.
Ako sa αu označimo pozitivan intenzitet ugaonog usporenja:
ω = ω0 - αut
Ugaoni pomeraj iznosi:
φ = ω0t – ½ αut2
Kada se telo zaustavi (ω=0):
ω0=αut
pa je vreme zaustavljanja:
t = ω0/αu
Zamajac ima početnu ugaonu brzinu ω0=20 rad/s i ravnomerno usporava ugaonim usporenjem αu=4rad/s2
Vreme zaustavljanja je 5s
Pravolinijsko kretanje |
Kružno kretanje |
|---|---|
put s |
ugaoni pomeraj φ |
brzina v |
ugaona brzina ω |
ubrzanje a |
ugaono ubrzanje α |
v=v0+at |
ω=ω0+αt |
s=v0t + ½ at2 |
φ=ω0t + ½ αt2 |
Veze linearnih i ugaonih veličina su:
s = Rφ
v = Rω
Ova sličnost omogućava da se poznati obrasci pravolinijskog kretanja lakše prenesu na kružno kretanje.