Uvodno razmatranje

Posmatrajmo disk koji se obrće oko vratila. Tačke diska ne pomeraju se jednako kao kod translatornog kretanja.

Tačka koja se nalazi blizu ose prelazi mali put, dok tačka na obodu diska za isto vreme prelazi mnogo veći put. Ipak, obe tačke se za isto vreme obrnu za isti ugao.

Primere ovakvog kretanja predstavljaju:

• točak vozila;

• zupčanik;

• remenica;

• vratilo elektromotora;

• ventilator;

• stezna glava struga;

• kazaljka časovnika;

• vrata koja se obrću oko šarki.

Kod svih ovih primera postoji prava linija oko koje se telo obrće. Ta prava naziva se osa obrtanja.

Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose

Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose je kretanje pri kojem dve tačke tela ostaju nepokretne.

Prava koja prolazi kroz te dve nepokretne tačke naziva se osa obrtanja.

Ako osu obrtanja označimo sa z, sve tačke koje pripadaju toj osi miruju.

Za njih važi v=0, a=0

Sve ostale tačke tela kreću se po kružnicama.

Putanje tačaka tela

Posmatrajmo proizvoljnu tačku A krutog tela.

Pri obrtanju tela oko nepokretne ose tačka A:

• opisuje kružnicu;

• kreće se u ravni normalnoj na osu obrtanja;

• ima centar kružne putanje na osi obrtanja;

• ima poluprečnik putanje jednak najkraćem rastojanju tačke od ose.

Ako je tačka udaljena od ose z za r_A, a druga tačka B, udaljenu od ose z za r_B

Ako je r_A < r_B:

tačka A opisuje manju, a tačka B veću kružnicu.

Važno

Tačke tela ne opisuju istu kružnicu, osim ako se nalaze na jednakom rastojanju od ose obrtanja.

Ugaone veličine krutog tela

U prethodnoj oblasti ugaoni pomeraj, ugaona brzina i ugaono ubrzanje uvedeni su pri proučavanju kružnog kretanja materijalne tačke.

Kod krutog tela ove veličine dobijaju posebno značenje: one opisuju obrtanje celog tela, a ne samo jedne njegove tačke.

Kada se kruto telo obrne za ugao φ, svaka njegova tačka obrne se za isti ugao:

φ_A = φ_B = φ

Sve tačke tela imaju jednaku ugaonu brzinu ω.

Sve tačke tela imaju i jednako ugaono ubrzanje α.

Prema tome, ugaoni pomeraj, ugaona brzina i ugaono ubrzanje zajedničke su veličine za celo kruto telo.

Konačna jednačina obrtanja

Ugaoni položaj tela određen je uglom φ, koji se menja tokom vremena:

φ = f(t)

Ova jednačina naziva se konačna jednačina obrtanja krutog tela oko nepokretne ose.

Za određivanje položaja celog tela dovoljna je samo jedna ugaona koordinata φ.

Brzina proizvoljne tačke tela

Za kružno kretanje materijalne tačke već je poznato:

v = Rω

Isti izraz primenjujemo na svaku tačku krutog tela, pri čemu je njeno normalno rastojanje od ose obrtanja.

Za tačke i A i B:

v_A = R_A ω

v_B = R_B ω

Iako obe tačke imaju istu ugaonu brzinu, njihove obimne brzine nisu jednake ako su različito udaljene od ose.

Ako je:

R_A < R_B

onda je:

v_A < v_B

Za dve tačke istog tela važi:

Tačka koja je dva puta udaljenija od ose ima dva puta veću brzinu.

Pravac brzine

Brzina svake tačke:

• ima pravac tangente na njenu kružnu putanju;

• normalna je na poluprečnik putanje;

• usmerena je u smeru obrtanja.

Za obrtanje oko nepokretne ose brzina tačke ima samo tangencijalni pravac. Zato se ne rastavlja na dve komponente.

Važna razlika

Sve tačke tela imaju jednaku ugaonu brzinu, ali njihovi vektori obimne brzine uglavnom nisu jednaki:

• mogu imati različite intenzitete;

• u različitim položajima mogu imati i različite pravce.

Ubrzanje proizvoljne tačke tela

Iz kružnog kretanja materijalne tačke poznato je da ubrzanje ima dve komponente:

• tangencijalnu komponentu a_t;

• normalnu komponentu a_n.

Za proizvoljnu tačku krutog tela primenjuju se već poznati izrazi:

a_t = α R

a_n = ω² R

Ukupno ubrzanje tačke je:

Pošto su tangencijalna i normalna komponenta međusobno normalne:

Ovi izrazi nisu nove formule. Novina je da ih primenjujemo na različite tačke istog krutog tela.

Poređenje ubrzanja različitih tačaka

Za tačku A:

a_tA = α R_A

a_nA = ω² R_A

Za tačku B:

a_tB = α R_B

a_nB = ω² R_B

Pošto su ω i α isti za celo telo, obe komponente ubrzanja zavise od rastojanja tačke od ose.

Ako je:

R_A < R_B

onda je:

ω_A < ω_B

i:

αA < α_B

Tačke koje su udaljenije od ose imaju veću brzinu i veće ubrzanje.

Za tačke na osi je R = 0, pa su:

v = 0, a = 0

Ravnomerno obrtanje krutog tela

Pri ravnomernom obrtanju:

ω = const

Pošto se ugaona brzina ne menja:

α = 0

Zato je tangencijalno ubrzanje svih tačaka jednako nuli:

a_T = α R = 0

Međutim, tačke van ose i dalje imaju normalno ubrzanje:

a_n = ω²R

Ukupno ubrzanje tada je jednako normalnom ubrzanju a ₌ a_n.

Dakle, pri ravnomernom obrtanju intenzitet brzine tačke se ne menja, ali se menja njen pravac.

Promenljivo obrtanje krutog tela

Pri promenljivom obrtanju menja se ugaona brzina, pa postoji ugaono ubrzanje α.

Tačke van ose rotacije tada imaju obe komponente ubrzanja:

a_t = α R

a_n = ω² R

Tangencijalna komponenta nastaje zbog promene intenziteta brzine, a normalna zbog promene njenog pravca.

Ukupno ubrzanje predstavlja njihov vektorski zbir.

Ako se telo ubrzava, tangencijalno ubrzanje ima isti smer kao obimna brzina. Ako se telo usporava, tangencijalno ubrzanje ima suprotan smer.

Poređenje sa translatornim kretanjem

Najvažnija razlika može se iskazati ovako:

Kod translatornog kretanja sve tačke imaju jednake linijske veličine, dok pri obrtanju sve tačke imaju jednake ugaone veličine.

Poređenje dve tačke istog tela

Posmatrajmo tačke A i B, pri čemu je:

R_A < R_B

Za njih važi:

Jednake veličine

Različite veličine

Ovo predstavlja suštinu obrtanja krutog tela oko nepokretne ose.

Kratka primena

Disk se obrće oko nepokretne ose. Tačka B nalazi se dva puta dalje od ose nego tačka A:

R_B = 2R_A

Pošto obe tačke pripadaju istom krutom telu:

ω_B = ω_A

α_B = α_A

Njihove brzine su:

v_A = R_A ω_A; v_B = R_B ω_B = 2v_A

Na isti način:

a_nB = 2 a_nA

a_tB = 2a_tB

Tačka koja je dva puta udaljenija od ose ima dva puta veću brzinu i dve komponente ubrzanja dva puta većeg intenziteta.

Česte greške

Greška 1: Sve tačke tela imaju jednaku brzinu

To važi samo kod translatornog kretanja. Pri obrtanju važi v = ωR pa brzina zavisi od rastojanja tačke od ose.

Greška 2: Tačka na osi se kreće zajedno sa telom

Tačka na osi obrtanja miruje jer je R = 0.

Greška 3: Pri ravnomernom obrtanju ubrzanje je nula

Pri ravnomernom obrtanju tangencijalno ubrzanje jeste nula, ali normalno ubrzanje postoji.

Greška 4: Sve tačke imaju isti pravac brzine

Brzina svake tačke tangenta je na njenu kružnu putanju. Pravci brzina zavise od položaja tačaka u telu.

Pitanja za proveru znanja

1. Kako se definiše obrtanje krutog tela oko nepokretne ose?

2. Kako se kreću tačke koje se nalaze na osi obrtanja?

3. Kakve putanje opisuju ostale tačke tela?

4. Koje su ugaone veličine jednake za sve tačke?

5. Da li sve tačke imaju jednaku obimnu brzinu?

6. Od čega zavisi brzina tačke tela?

7. Koja tačka ima veću brzinu: bliža ili udaljenija od ose?

8. Koje komponente ima ubrzanje tačke?

9. Da li tačka ima ubrzanje pri ravnomernom obrtanju?

10. Koja je osnovna razlika između translatornog kretanja i obrtanja?