Uvodno razmatranje

Kod opšteg ravanskog kretanja telo istovremeno:

• menja položaj u ravni;

• menja svoj ugaoni položaj.

Kao primer možemo posmatrati štap AB koji se kreće po ravnoj podlozi. Tokom kretanja tačka A menja položaj, ali se istovremeno menja i ugao koji štap zaklapa sa nepokretnim pravcem.

Takvo kretanje je složenije od:

• čistog translatornog kretanja;

• čistog obrtanja oko nepokretne ose.

Da bismo ga lakše proučavali, ravansko kretanje razlažemo na ova dva jednostavnija kretanja.

Osnovna ideja razlaganja

Posmatrajmo dva položaja štapa :

• početni položaj A₁B₁;

• krajnji položaj A₂B₂.

Prelazak štapa iz početnog u krajnji položaj možemo zamisliti u dva koraka:

1. štap se najpre pomera paralelno samom sebi, tako da A₁B₁ dođe u položaj A₂B₁’

2. zatim se štap obrće oko tačke A₂, sve dok ne zauzme konačni položaj.

Prvi deo predstavlja translatorno kretanje, a drugi rotaciono kretanje.

Prema tome:

ravansko kretanje = translaciono kretanje + rotaciono kretanje

Translatorni deo kretanja

U prvom zamišljenom koraku sve tačke tela pomeraju se jednako kao izabrana tačka A₁.

Štap se iz položaja pomera u pomoćni položaj A₂B₁’, pri čemu ostaje paralelan svom početnom položaju.

Sve tačke štapa imaju jednaka pomeranja :

U ovom delu kretanja ugaoni položaj štapa se ne menja.

To je translatorni deo ravanskog kretanja.

Rotacioni deo kretanja

Posle translatornog pomeranja štap se nalazi u pomoćnom položaju A₂B₁’.

Tačka A₂ tada se zamišljeno zadržava na mestu, a štap se obrće oko nje sve dok tačka B’ ne dođe u konačni položaj B₂.

Štap se obrne za ugao φ.

Tačka pri tome opisuje luk kružnice sa centrom u tački A₂ i poluprečnikom AB.

Ovaj deo predstavlja rotacioni deo ravanskog kretanja.

Razlaganje je zamišljeno, a ne stvarno

Telo se u stvarnosti ne mora najpre translatorno pomeriti, a zatim obrnuti.

Oba dela kretanja odvijaju se istovremeno.

Razlaganje predstavlja matematički i geometrijski način da složeno ravansko kretanje predstavimo pomoću dva jednostavnija kretanja.

Ravansko kretanje posmatramo kao istovremeno translatorno kretanje izabrane tačke i obrtanje tela oko te tačke.

Ovo je važno jer će nam takvo razmatranje omogućiti da odredimo brzine i ubrzanja različitih tačaka tela.

Referentna tačka ili pol razlaganja

Tačka u odnosu na koju razlažemo ravansko kretanje naziva se referentna tačka ili pol razlaganja.

U prethodnom primeru za referentnu tačku izabrali smo tačku A.

Ravansko kretanje tada posmatramo kao:

• translatorno kretanje zajedno sa tačkom A;

• rotaciono kretanje tela oko tačke A.

Referentna tačka može biti:

• krajnja tačka štapa;

• središte diska;

• težište tela;

• zglob mehanizma;

• bilo koja druga pogodno izabrana tačka tela.

Najčešće biramo tačku čije su kretanje, brzina ili ubrzanje već poznati.

Izbor referentne tačke nije jedinstven

Za referentnu tačku ne moramo obavezno izabrati tačku A.

Možemo izabrati tačku i isto kretanje posmatrati kao:

• translatorno kretanje zajedno sa tačkom B;

• obrtanje tela oko tačke B.

Možemo izabrati i neku treću tačku C.

U svim slučajevima dobijamo isti konačni položaj tela.

Šta zavisi od izbora tačke?

Translatorni deo kretanja zavisi od izbora referentne tačke, jer se različite tačke tela kreću po različitim putanjama.

Šta ne zavisi od izbora tačke?

Promena ugaonog položaja tela ne zavisi od izabrane tačke:

Δφ_A = Δφ_B = Δφ

Sve tačke tela imaju istu ugaonu brzinu:

ω_A = ω_B = ω

i isto ugaono ubrzanje:

α_A = α_B = α

Ugaone veličine pripadaju celom krutom telu.

Položaj proizvoljne tačke tela

Neka je izabrana referentna tačka A, a B druga tačka istog tela.

Položaj tačke možemo odrediti pomoću položaja tačke A i položaja tačke B u odnosu na A:

gde je:

• r_A – vektor položaja tačke A;

• r_B – vektor položaja tačke B;

• r_BA – vektor od tačke B prema tački A.

Pošto je telo kruto AB = const. Intenzitet vektora r_BA ne menja se, ali se njegov pravac menja zajedno sa ugaonim položajem tela.

Koordinatni oblik položaja

Ako je AB = l a štap zaklapa ugao φ sa pozitivnim smerom x-ose, položaj tačke B određen je izrazima:

U ovim jednačinama možemo prepoznati oba dela ravanskog kretanja:

• x_A i x_B opisuju kretanje referentne tačke;

• ugao φ opisuje obrtanje tela oko referentne tačke.

Posledice razlaganja

Razlaganje brzine tačke

Pošto smo kretanje tačke B predstavili pomoću kretanja tačke A i obrtanja tela oko tačke A, isto možemo uraditi i sa brzinama.

Brzina tačke jednaka je vektorskom zbiru:

gde je:

• v_A – brzina referentne tačke ;

• v_BA – brzina tačke B pri obrtanju tela oko tačke A.

Brzina v_BA naziva se relativna brzina tačke B u odnosu na tačku A.

Njen intenzitet je:

v_BA = ω AB

a pravac je normalan na duž AB.

Značenje jednačine

Brzina tačke B sastoji se od:

1. brzine koju bi imala kada bi se celo telo kretalo translatorno zajedno sa tačkom A;

2. dodatne brzine koja nastaje zbog obrtanja tela oko tačke A.

Brzine se sabiraju vektorski

Prethodna jednačina predstavlja vektorski zbir.

Zato se intenzitet brzine ne može uvek odrediti običnim sabiranjem:

Obično je potrebno nacrtati trougao ili poligon brzina, uzimajući u obzir njihove pravce i smerove.

Detaljno određivanje brzina i konstrukcija plana brzina obrađuju se u posebnoj nastavnoj jedinici.

Trenutni pol brzina predstavlja drugi način kojim se određivanje brzina često može pojednostaviti.

Razlaganje ubrzanja tačke

Na isti način, ubrzanje tačke možemo predstaviti kao zbir:

gde je:

• a_A – ubrzanje referentne tačke A;

• a_BA – ubrzanje tačke B usled obrtanja tela oko tačke A.

Pri rotacionom delu kretanja relativno ubrzanje ima dve komponente:

Zato je:

Detaljno određivanje ovih komponenata ostaje za nastavnu jedinicu o ubrzanjima tačaka tela.

Za sada je najvažnije razumeti da se i ubrzanje tačke sastoji od dela koji potiče od kretanja referentne tačke i dela koji nastaje zbog obrtanja tela oko nje.

Pol razlaganja i trenutni pol brzina nisu isto

Ova dva pojma ne treba mešati.

Pol razlaganja

Pol razlaganja je proizvoljno izabrana referentna tačka. Njena brzina ne mora biti jednaka nuli.

Česte greške

Greška 1: Telo stvarno najpre vrši translaciju, a zatim rotaciju

Ne mora. Razlaganje je zamišljen način proučavanja istovremenog kretanja.

Greška 2: Referentna tačka mora da miruje

Ne mora. Ona se pri opštem ravanskom kretanju najčešće kreće.

Greška 3: Postoji samo jedna moguća referentna tačka

Može se izabrati bilo koja tačka, ali je najbolje izabrati onu čije je kretanje poznato.

Greška 4: Pol razlaganja je isto što i trenutni pol brzina

Trenutni pol ima brzinu jednaku nuli, dok proizvoljno izabrani pol razlaganja ne mora da miruje.

Greška 5: Intenziteti brzina mogu se uvek direktno sabrati

Brzine su vektorske veličine i moraju se sabirati uzimajući u obzir njihove pravce i smerove.

19. Pitanja za proveru znanja

1. Na koja dva kretanja se može razložiti ravansko kretanje?

2. Kako se izvodi zamišljeno razlaganje između dva položaja štapa?

3. Šta predstavlja translatorni deo kretanja?

4. Šta predstavlja rotacioni deo kretanja?

5. Da li se ova dva kretanja stvarno odvijaju jedno za drugim?

6. Šta je referentna tačka ili pol razlaganja?

7. Da li izbor referentne tačke mora biti jedinstven?

8. Koju tačku je najpogodnije izabrati?

9. Kako se određuje položaj tačke B pomoću položaja tačke A?

10. Kako glasi veza između brzina tačaka A i B?

11. Kakav je pravac relativne brzine v_AB?

12. Koja je razlika između pola razlaganja i trenutnog pola brzina?