Krivolinijsko kretanje

Krivolinijsko kretanje je kretanje materijalne tačke čija je putanja kriva linija.

Primeri:

• tačka na obodu zamajca;

• vrh kraka robota koji se kreće po zadatoj krivoj putanji;

• automobil u krivini;

• tačka na zupčaniku;

• alat CNC mašine koji prati kružni luk;

• telo izbačeno pod uglom.

Kružno kretanje je poseban slučaj krivolinijskog kretanja kod kojeg je putanja kružnica.

Brzina pri krivolinijskom kretanju

Kod pravolinijskog kretanja pravac brzine poklapa se sa pravcem putanje. Kod krivolinijskog kretanja taj pravac se neprestano menja.

Vektor trenutne brzine u svakoj tački ima pravac tangente na putanju.

To znači:

• pravac brzine određen je tangentom na putanju;

• smer brzine poklapa se sa smerom kretanja;

• intenzitet brzine pokazuje koliko brzo tačka prelazi put.

Za konačan vremenski interval srednja vrednost intenziteta brzine iznosi:

gde je:

• Δs – pređeni put;

• Δt – vreme za koje je put pređen.

Predlog skice na tabli

Nacrtati proizvoljnu krivu putanju i označiti tri položaja tačke: A, B i C. U svakoj tački nacrtati vektor brzine duž tangente. Vektori mogu imati jednake dužine, ali različite pravce.

Iz skice se vidi da se brzina kao vektorska veličina menja i kada joj je intenzitet stalan.

Ravnomerno krivolinijsko kretanje

Ravnomerno krivolinijsko kretanje je kretanje pri kojem materijalna tačka u jednakim vremenskim intervalima prelazi jednake puteve po krivoj putanji.

Intenzitet brzine je stalan v = const:

Ipak, vektor brzine nije stalan, jer se menja njegov pravac.

Zato pri ravnomernom krivolinijskom kretanju važi:

Ovo je važna razlika u odnosu na ravnomerno pravolinijsko kretanje:

Pri ravnomernom krivolinijskom kretanju ubrzanje nastaje zbog promene pravca brzine.

Normalno ubrzanje

Ubrzanje koje menja pravac brzine naziva se normalno ubrzanje i označava se sa a_n.

Normalno ubrzanje:

• upravno je na vektor trenutne brzine;

• usmereno je prema centru krivine putanje;

• menja pravac brzine, ali ne menja njen intenzitet.

Njegov intenzitet iznosi:

gde je:

• a_n – normalno ubrzanje ;

• v – intenzitet trenutne brzine ;

• ρ – poluprečnik krivine putanje .

Poluprečnik krivine predstavlja poluprečnik kružnice koja u posmatranoj tački najbolje odgovara obliku putanje.

Kod kružne putanje poluprečnik krivine jednak je poluprečniku kružnice ρ = R:

pa je:

Normalno ubrzanje kružnog kretanja naziva se i centripetalno ubrzanje. Ono je usmereno ka centru kružnice. Pri ravnomernom kružnom kretanju brzina je tangentna na putanju, dok je centripetalno ubrzanje upravno na brzinu i usmereno ka centru.

Uticaj brzine i poluprečnika krivine

Iz izraza

zaključujemo:

• ako se brzina poveća dva puta, normalno ubrzanje poveća se četiri puta;

• pri istoj brzini oštrija krivina ima manje R i veće normalno ubrzanje;

• kod blaže krivine je veće R, pa je normalno ubrzanje manje;

Promenljivo krivolinijsko kretanje

Promenljivo krivolinijsko kretanje je kretanje pri kojem se menja intenzitet brzine, a zbog zakrivljenosti putanje menja se i njen pravac.

Kod ovog kretanja ubrzanje uglavnom ima dve komponente:

1. tangencijalnu komponentu ;

2. normalnu komponentu .

Tangencijalna i normalna komponenta međusobno su normalne.

Tangencijalno ubrzanje

Tangencijalno ubrzanje menja intenzitet brzine. Njegov pravac poklapa se sa tangentom na putanju.

Za konačan vremenski interval srednje tangencijalno ubrzanje iznosi:

Ako se intenzitet brzine povećava, tangencijalno ubrzanje ima isti smer kao brzina.

Ako se intenzitet brzine smanjuje, tangencijalno ubrzanje ima smer suprotan brzini.

Pri ravnomernom krivolinijskom kretanju v=const, zbog čega je a_t = 0:

Normalno ubrzanje ipak postoji (ista formula od ranije).

Tangencijalno ubrzanje je paralelno sa trenutnom brzinom, dok je normalno ubrzanje na nju upravno.

Ukupno ubrzanje

Ukupno ubrzanje predstavlja vektorski zbir tangencijalnog i normalnog ubrzanja:

Pošto su ove komponente međusobno upravne, intenzitet ukupnog ubrzanja određuje se primenom Pitagorine teoreme.

Rešen primer

Tačka na obodu rotirajućeg dela mašine kreće se po kružnici poluprečnika R=2m. U posmatranom trenutku njena brzina je v=4m/s, a tangencijalno ubrzanje a_t=1,5m/s².

Odrediti:

1. normalno ubrzanje;

2. ukupno ubrzanje.

Poznato

R=2m

v=4m/s

a_t=1,5m/s²

Normalno ubrzanje

a_n = v²/R = 16/2 = 8m/s²

Ukupno ubrzanje

a ≈ 8,14 m/s²