Poluprečnik inercije i elipsa inercije

1. Poluprečnik inercije

Definicija

Poluprečnik inercije predstavlja meru raspodele površine poprečnog preseka oko neke ose.
Drugim rečima:

govori nam koliko je masa (površina) „udaljena“ od ose u proseku.

Matematički se definiše kao:

gde je:

• i – poluprečnik inercije

• I – moment inercije površine

• A – površina poprečnog preseka

Značenje u praksi

Ako dva preseka imaju istu površinu, ali je kod jednog materijal više udaljen od ose:

• taj presek ima veći poluprečnik inercije

• otporniji je na izvijanje (izvijanje štapa)

👉 Zato su cevi otpornije na izvijanje od punih šipki iste mase.

Veza izvijanja i poluprečnika inercije

Osnovna ideja

Izvijanje štapa zavisi od toga:

• koliko je štap dugačak

• koliko je presek otporan na savijanje

Ta otpornost preseka se u izvijanju ne meri direktno momentom inercije,
nego poluprečnikom inercije.

Ključna formula – koeficijent vitkosti

gde je:

• λ – koeficijent vitkosti

• l₀ – efektivna (proračunska) dužina štapa

• i – poluprečnik inercije preseka

Značenje formule

• veći poluprečnik inercije → manja vitkost → manja opasnost od izvijanja

• manji poluprečnik inercije → veća vitkost → veća opasnost od izvijanja

👉 Zato se štap uvek izvija oko ose sa manjim poluprečnikom inercije.

Za vrlo vitke štapove koristi se Eulerova formula:

ZADATAK 1 – Pun kvadratni presek

Stub dužine l = 2 m ima kvadratni poprečni presek stranice a = 40 mm.
Krajevi su zglobno oslonjeni.

1. Izračunati:

   • površinu A

   • moment inercije I

   • poluprečnik inercije i

   • koeficijent vitkosti λ

Rešenje

ZADATAK 2 – Pun kružni presek

Stub iste dužine l = 2 m, ali kružnog preseka prečnika d = 45 mm.

1. Izračunati i i λ

2. Uporediti sa zadatkom 1

Rešenje

Zaključak

• vrlo slična površina kao kvadrat

• ali malo veća vitkost → manja stabilnost

ZADATAK 3 – Pravougaoni presek (različite ose)

Stub dužine l = 2 m ima pravougaoni presek:
b = 30 mm, h = 60 mm

1. Izračunati:

   • ix, iy

   • λx, λy

2. Oko koje ose će doći do izvijanja?

Rešenje

Zaključak

👉 Stub se izvija oko y ose (slabije ose)
(zato što je tu manji poluprečnik inercije)

ZADATAK 4 – Ojlerova kritična sila

Čelični stub dužine l = 2 m ima zglobno oslonjene krajeve.
Poprečni presek je pravougaonik dimenzija:

• b = 40 mm

• h = 80 mm

Modul elastičnosti je:

E=2.1⋅105MPa

Zahtevi:

1. Izračunati:

   • Ix i Iy

2. Odrediti oko koje ose dolazi do izvijanja

3. Izračunati kritičnu silu izvijanja Fkr (Ojlerova formula)

Rešenje

1. Momenti inercije

2. Osa izvijanja

👉 Manji moment inercije → kritična osa

Iy < Ix

3. Ojlerova formula

Koristi se manji moment inercije:

„Okretanjem preseka ne menja se njegova slabost –
samo se menja pravac u kome će da popusti.“